隨著無背索斜拉橋跨徑的不斷增大，拉索的長度逐漸增加，傾角逐漸減小，使得拉索的垂度效應影響逐漸顯著，從而令拉索的支撐效率由近塔處向遠端逐漸降低.人們通常采用增大索力的方法來改善遠端拉索效率低下問題，但會使主梁軸力整體變大，加重近塔處主梁截面負擔.同時，索力的非均勻增大、無背索斜拉橋的特殊構型及拉索的垂度效應，均會使主梁軸力變化出現非線性特征，此時簡化過于嚴重的線性軸力分析將不再適用，軸力的計算也趨于復雜.因此，如何基于軸力的非線性變化進行分析，快速計算出主梁軸力便成為了一個重要問題.

在探究斜拉橋結構體系的過程中，人們發現主梁軸力是限制斜拉橋跨徑增大的主要因素，并探究出許多計算軸力的方法[1,2,3].丹麥學者Gimsing將扇形體系轉化成輻射式布置，然后按照輻射式布置求得主梁軸力分布函數[4].王伯惠基于平均索法的思想，將一側若干根拉索等效為1根虛擬索，以此來計算近塔處主梁軸力[5,6].吳萬忠等在不考慮無索區的前提下，將索膜當作連續體分析，推導了有索區主梁軸力近似公式[7].彭旺虎等認為無背索斜拉橋拉索傾角的變化范圍較小，故在計算主梁軸力時，取拉索傾角的平均值，按等角度計算，給出了理想成橋狀態下的主梁軸力遞減函數[8].文獻[4]和[8]所做簡化實際上改變了該橋原有布索方式.文獻[7]未考慮無索區對軸力函數的影響，適用于大跨度斜拉橋有索區梁長遠大于無索區梁長的情況.無背索斜拉橋以中小型跨徑居多，且主塔呈傾斜狀態，故需要考慮無索區及斜塔傾角的影響.

針對無背索斜拉橋主梁軸力解析問題，本文基于平衡荷載理論及膜結構假定，分別推導索面按照輻射式、扇形式及豎琴式布置時，無背索斜拉橋有索區梁段主梁軸力沿梁長變化的連續函數，利用Heaviside函數進行修正[9],得到含無索區及斜塔傾角影響的主梁軸力解析式.

在無背索斜拉橋結構中，主梁軸力曲線是1條以主梁拉索錨固為分界點的階梯型分段函數曲線，隨著拉索數量增加，單位梁長內的拉索密度增大，軸力曲線每兩階梯間的級差逐漸減小，曲線形式逐漸由離散狀向平滑過渡.因此，在密索體系斜拉橋中，可以將拉索體系近似看作一個平面索膜，當作連續體分析，且由于塔的位移較小，因此不考慮斜塔的抗推剛度.

假設梁體的恒載荷載集度為q0,主梁兩側無附加軸力，拉索為等索距布置，且主梁與主塔上錨固區的索距比為k,塔高為h,主梁索面兩側無索區梁端長度為L0、L1,有索區梁端長度為Ly,斜塔傾角為θ,最外側2根拉索在主梁上錨固點位置的橫坐標為x1、x2.將拉索索面看作一膜結構，當作連續體分析，作用在梁段Ly.主梁軸力計算簡圖如圖1所示.

在有索區梁段Ly內取一微段，則索膜纖維在斜塔及主梁上的位置關系在笛卡爾坐標系下可用函數表示為

h−ysinθ=k(L0+Ly−x)h-ysinθ=k(L0+Ly-x). (1)

主梁有索區微段的平衡條件為

dNq0dx=y/tanθ+xydΝq0dx=y/tanθ+xy. (2)

聯立式(1)～(2)得

dN=(1tanθ+xh−ksinθ(L0+Ly−x))q0dxdΝ=(1tanθ+xh-ksinθ(L0+Ly-x))q0dx. (3)

將式(3)積分，令a=1/tanθ、b=h-ce、c=ksinθ、e=L0+Ly,則有索區主梁軸力表達式為

NLy(x)=q0[(a+1c)(e−x)+bc2ln(cx+bh)]. (4)ΝLy(x)=q0[(a+1c)(e-x)+bc2ln(cx+bh)].(4)

由式(4)中的對數函數項可以看出，軸力沿梁長方向有著明顯的非線性分布特征.

豎琴式布置時，各拉索間相互平行，基于幾何相似原理，有

k=λtλc=hsinθ⋅(L0+Ly)k=λtλc=hsinθ⋅(L0+Ly), (5)

式中：λt、λc分別為斜塔及主梁上的拉索間距.

將式(5)帶入式(4),可得豎琴式索面布置下的主梁軸力解析式為

NLy(x)=q0(1tanθ+L0+Lyh)(L0+Ly−x)ΝLy(x)=q0(1tanθ+L0+Lyh)(L0+Ly-x). (6)

當無背索斜拉橋索面布置為輻射式時，拉索在塔上集中錨固于一點，塔上錨固區索距為0,故索距比k值恒為0,這使得式(4)中的對數項出現“∞·0”的形式，使得方程無定解.將(4)式整理為

NLy(x)=q0{(a+1c)e−bc2[lnb+ln(ceb+1)]−(a+1c)x+bc2[lnb+ln(cxb+1)]}. (7)ΝLy(x)=q0{(a+1c)e-bc2[lnb+ln(ceb+1)]-(a+1c)x+bc2[lnb+ln(cxb+1)]}.(7)

將式(7)中的對數項進行泰勒級數展開，有

{ln(ceb+1)=ceb−12(ceb)2+⋅⋅⋅,ln(cxb+1)=cxb−12(cxb)2+⋅⋅⋅. (8){ln(ceb+1)=ceb-12(ceb)2+⋅⋅⋅,ln(cxb+1)=cxb-12(cxb)2+⋅⋅⋅.(8)

取級數的前2項帶入式(7),整理得

NLy(x)=q0(e−xtanθ+e2−x22h)ΝLy(x)=q0(e-xtanθ+e2-x22h). (9)

式(9)即為輻射式索面布置下，無背索斜拉橋有索區主梁軸力解析式.

通過上述推導，得到了考慮斜塔傾角時，扇形式、豎琴式、輻射式索面布置下的主梁有索區軸力解析式.為進一步考慮無索區梁段對主梁軸力的影響，利用Heaviside函數性質對主梁軸力解析式進行修正.

假設無索區梁段所受恒載由索面邊緣的1根拉索及支座共同承擔，可看作相應橫截面上作用1個軸力，則兩側無索區產生的軸力為

NL0=η0q0L0tanα, (10)

NL1=η1q0L1tanβ, (11)

式中：η0、η1分別為近塔處與遠端無索區主梁恒載修正系數，與恒載等效為集中力后的作用點有關[10]10].

引入Heaviside函數H(x),為保證有索區梁段軸力函數值域的完整，定義H(x)為

H(x)={0,x≤0,1,x>0. (12)Η(x)={0,x≤0,1,x>0.(12)

式(7)中x不取坐標原點，認為最大軸力存在于近塔處.則無背索斜拉橋主梁軸力分布表示為

若不考慮主梁無索區及斜塔傾角影響，則式(13)退化為

N(x)=q0[(Lc−x)1k+h−kLck2ln(1−kh(Lc−x))]. (14)Ν(x)=q0[(Lc-x)1k+h-kLck2ln(1-kh(Lc-x))].(14)

可知式(14)與文獻[7]中所推導的軸力計算公式一致.

將無背索斜拉橋的拉索分別按照輻射式、扇形式和豎琴式布置，主梁采用鋼筋混凝土梁.根據第1節理論及公式，可得到主梁截面軸力沿梁長變化曲線，如圖2所示.

由于豎琴式布索時，各個拉索與主梁間的夾角相同，使得拉索在水平方向上的投影值近乎相等；而豎琴式及輻射式布索時，隨著拉索逐漸向近塔處靠近，拉索角度逐漸增大，其水平投影值逐漸減小，且減小的速率存在非線性特征.因此，豎琴式索面布置時，近塔處主梁軸力最大，扇形式次之，輻射式最小.輻射式索面布置時，主梁軸力沿梁長方向的非線性變化最為顯著.

為驗證主梁軸力解析式的準確性，以扇形式索面布置的無背索斜拉橋為例，分別采用索膜方法、文獻[4]方法及有限元法計算主梁軸力.恒載集度取281.3 kN/m.η1、η2分別取0.20、0.13.選取主跨的近塔處、1/8截面、1/4截面、3/8截面、1/2截面為關鍵位置截面.主要結構參數如表1所示，根據表1中結構參數建立有限元模型，如圖3所示.

有限元模型共采用82個節點，89個單元，主梁與斜塔均采用梁單元，主梁為簡支結構，斜塔底部固結，拉索采用桁架單元，與梁塔直接通過節點連接.由于不考慮斜塔的抗推剛度，因此采用強塔弱梁結構.計算結果及誤差如表2和圖4所示.

由表2及圖4可見：文獻方法計算主梁軸力結果偏小，與有限元法結果相差較大；本文方法與有限元法計算結果吻合良好，偏差較小且分布較為均勻.

此外，仍取表1的主要結構參數為基礎，在上述模型的基礎上，令主梁錨固點位置不變，改變斜塔上錨固點位置，按豎琴式布置索面.聯立式(6)、式(9)～(10)、式(13),用本文的方法計算主梁軸力.計算結果與有限元法結果對比如圖5所示.

仍以上述模型為基礎，保持主梁錨固點位置不變，塔上錨固點均取塔頂位置，按輻射式布置索面.聯立式(9)～(11)及式(13),按本文方法計算主梁軸力，并與有限元法結果對比，如圖6所示.

由上述算例驗證結果可以看出：在不同索面布置下，若無索區長度在跨徑中不占較大比重，有索區內側端點的軸力值與近塔處的軸力值可能較為接近；但前者始終小于后者，無索區梁長比重越大，該部分差異越明顯.這是由于無索區同樣受到荷載作用，該部分荷載由拉索和支座共同承擔，因此拉索索力增大，索力的水平投影增大，使得軸力增大.在不用有限元法計算的情況下，文獻方法所求結果相比實際結果較小，無法確定其安全系數，不利于設計.而由圖4～6可以看出，本文方法與有限元法計算結果較為接近，誤差均在5%左右，且整體結果略微偏大，無須確定安全系數，是更偏于安全的計算方法.

1) 本文針對無背索斜拉橋結構，基于平衡荷載理論及索膜假定，考慮斜塔傾角及無索區影響，推導了多種索面布置下的主梁軸力解析式.通過算例分析，其計算結果與有限元法結果較為吻合，誤差均在5%左右，對實際結果有所包絡，是更偏于安全的計算方法.

2) 由本文所推導的主梁軸力解析式可知，主梁軸力與荷載、跨徑、斜塔高度及索距比有關，適當增加斜塔高度，減小荷載或跨徑，都可以降低主梁軸力，減小近塔處主梁截面的負擔.

3) 豎琴式布索的無背索斜拉橋主梁軸力整體較大，扇形式次之，輻射式最��；但輻射式布索時軸力變化的非線性特征最明顯，因此在設計時根據布索形式的不同，需要對主梁不同位置截面的材料及構造有所側重.